Πέμπτη, 6 Σεπτεμβρίου 2018

Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης

Η σύσταση των ατόμων


Η υπόθεση ότι η ύλη αποτελείται από αδιαίρετες μονάδες, τα άτομα, υπήρχε από την Αρχαία Ελλάδα (Δημόκριτος). Η πρώτες επιστημονικές μαρτυρίες όμως ήλθαν την περίοδο του διαφωτισμού. Πειράματα που έδρασαν αποφασιστικά στην ανάπτυξη της ιδέας του ατόμου ήταν
  • Τα πειράματα ηλεκτρόλυσης του Faraday, που οδήγησαν στον νόμο της ηλεκτρόλυσης.
  • Το πείραμα του Thomson, όπου μετρήθηκε ο λόγος e/m για το ηλεκτρόνιο και άρα ανακαλύφθηκε στην ουσία το ηλεκτρόνιο (για την ανακάλυψή του αυτή ο Thomson πήρε το βραβείο Nobel, το 1908).
  • Το πείραμα του Millikan, όπου μετρήθηκε το φορτίο του ηλεκτρονίου (βραβείο Nobel 1923).

Τα πειράματα του Thomson απέδειξαν την ύπαρξη του ηλεκτρονίου και οδήγησαν στα πρώτα μοντέλα του ατόμου. Στο μοντέλο του Thomson τα ηλεκτρόνια ήταν ομοιόμορφα κατανεμημένα μέσα στο άτομο. Το μοντέλο αυτό αμφισβητήθηκε από τον Lenard, ο οποίος στα πειράματά του διαπίστωσε ότι τα ηλεκτρόνια μπορούσαν να περασουν εύκολα από λεπτά υμένια, πράγμα που σήμαινε ότι το άτομο θα πρέπει να είναι σχετικά άδειο.
O Rutherford, επηρεασμένος από τη δουλειά του Lenard, επιχείρησε να ελέγξει πειραματικά το μοντέλο του Thomson. Το πείραμα του Rutherford συνίστατο στο βομβαρδισμό λεπτών υμενίων χρυσού με ισχυρά διεισδυτικά σωματίδια α (πυρήνες He). Το πείραμά του (δείτε το σχήμα) έδειξε ότι κάποια από τα σωματίδια α υφίσταντο έντονη σκέδαση και κάποια άλλα περνούσαν σχεδόν ανεμπόδιστα από τα υμένια. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων του οδήγησε στο πλανητικό μοντέλο του ατόμου, σύμφωνα με το οποίο σχεδόν όλη η μάζα του ατόμου είναι συγκεντρωμένη σε μια μικρή περιοχή, τον πυρήνα, ενώ τα ηλεκτρόνια κινουνται σε μεγάλη απόσταση από τον πυρήνα.


2.b Ατομικά φάσματα


Αντίθετα από τα θερμικά φάσματα των στερεών ή των υγρών σωμάτων, τα οποία είναι συνεχή, τα φάσματα εκπομπής των μεμονωμένων ατόμων είναι γραμμικά, δηλαδή εκπέμπονται μόνο ορισμένες συχνότητες, που εμφανίζονται ως φωτεινές γραμμές πάνω σε ένα σκοτεινό υπόβαθρο. Οι γραμμές αυτές (φασματικές γραμμές) είναι χαρακτηριστικές κάθε στοιχείου. (Εκτός από τα φάσματα εκπομπής υπάρχουν και τα φάσματα απορρόφησης, τα οποία παιρνουμε όταν φωτίσουμε ένα αέριο με συνεχές φώς. Τα φάσματα αυτά αποτελούνται από σκοτεινές γραμμές σε φωτεινό υπόβαθρο - οι σκοτεινές αυτές γραμμές είναι στις ίδιες συχνότητες με τις φωτεινές γραμμές του φάσματος εκπομπής του στοιχείου.)
Στο δεύτερο μισό του 19ου αι. υπήρχε μεγάλος αριθμός πειραματικών δεδομένων πάνω στα τα φάσματα των ατόμων, δεν ηπήρχε όμως θεωρητική ερμηνεία (η ερμηνεία, τουλάχιστον για το άτομο του Η, έγινε το 1913, με τις εργασίες του Bohr). Για τις φασματικές γραμμές του ατόμου του Η υπήρχε ο φαινομενολογικός τύπος

1/λ = f /c = R [ 1/n2- 1/m2]
όπου n, m ακέραιοι και and R = 1.10x107 m-1 η σταθερά του Rydberg. Για n=1 και m>n έχουμε τη σειρά Lyman (στο υπεριώδες), για n=2 τη σειρά Balmer (ορατό και υπεριώδες) και για n=3 φωτόνια στο υπέρυθρο.


2.c. Το μοντέλο του Bohr για το άτομο


Το μοντέλο του Bohr για το άτομο αναπτύχθηκε στην προσπάθεια ερμηνείας των ατομικών φασμάτων και της σταθερότητας του ατόμου στο μοντέλο του Rutherford. Ερμηνεύει εξαιρετικά το φάσμα του Υδρογόνου, τη σταθερότητα του ατόμου και υπολογίζει την τάξη μεγέθους του ατόμου. (Για το μοντέλο του αυτό, ο Bohr πήρε το βραβείο Nobel το 1922.)
Οι υποθέσεις (αξιώματα) που έκανε ο Bohr (αυθαίρετα) στην την ανάπτυξη της θεωρίας του είναι οι εξής:
1) Οι ενεργειακές καταστάσεις του ατόμου είναι κβαντωμένες. Το άτομο σε αυτές τις καταστάσεις δεν ακτινοβολεί. Ακτινοβολεί μόνο κατά τη μετάβαση από μια κατάσταση σε άλλη. Η ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου ισούται με την ενεργειακή διαφορά των δύο καταστάσεων.
2) Επιτρέπονται μόνο εκείνες οι κυκλικές τροχιές στις οποίες η στροφορμή, L, είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της σταθεράς του Planck,
L=m v r= n h/2π   (συνθήκη κβάντωσης).

Από τη συνθήκη κβάντωσης της στροφορμής και από τις εξισώσεις της κυκλικής κίνησης (δύναμη Coulomb (ke2/r2) = κεντρομόλος δύναμη (mv2/r), v=ωr), υπολογίζεται η ακτίνα της τροχιάς, αn, η ενέργεια, En, και η ταχύτητα vn του ηλεκτρονίου που βρίσκεται στη στάθμη με κβαντικό αριθμό n στο άτομο του Υδρογόνου.
αn=[(h/2π)2/k me2)]n2=n2α0,   α0=[(h/2π)2/k me2)]=0.529 A
En=-m k2 e4/2(h/2π)2n2=-13.6/n2 eV
vn=ke2/(h/2π)n=c/(137 n)

Για άτομα με Ζ πρωτόνια στον πυρήνα, το e2 στους παραπάνω τύπους γίνεται Ζe2.
----
Πώς το μοντέλο του Bohr ερμηνεύει τη σταθερότητα του ατόμου; Πώς ερμηνεύει τα ατομικά φάσματα;
----
Αρχή αντιστοιχίας: Στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών τα αποτελέσματα του Bohr θα συμπίπτουν με τα αντίστοιχα κλασικά. (κλασικά όρια: α) μεγάλων κβαντικών αριθμών, β) μεγάλων μαζών και h->0)


2.d. Η κυματική συμεπριφορά των σωμάτων: Υλικά κύματα


Ενώ το μοντέλο του Bohr έδινε ικανοποιητικές απαντήσεις στα διάφορα μέχρι τότε προβλήματα, υπήρχαν αρκετά θέματα που παρέμεναν ανερμήνευτα (σχετική ένταση ατομικών φασμάτων, φάσματα βαριών στοιχείων, μη περιοδικές κινήσεις κλπ). Επιπλέον δεν υπήρχε μια θεμελίωση/ερμηνεία των βασικών υποθέσεων του Bohr.
Η ερμηνεία αυτή δόθηκε από τον De Broglie, to 1923. O De Broglie, υποκινούμενος από τις εργασίες πάνω στην διττή φύση της ακτινοβολίας, υπέθεσε την ίδια διττή φύση και για τα σωματίδια. Αφού τα φωτόνια συμπεριφέρονται ως σωματίδια γιατι και τα σωματίδια να μην συμπεριφέρονται ως κύματα; (Επιπλέον, για τα κύματα η κβάντωση ήταν κάτι ήδη γνωστό, π.χ. στάσιμα κύματα σε χορδή).
Βασικό αξίωμα De Broglie: Κάθε σωματίδιο συμπεριφέρεται και ως κύμα (κάτω από ορισμένες συνθήκες). Οι σχέσεις που συνδέουν τα κυματικά του χαρακτηριστικά (συχνότητα, μήκος κύματος) με τα σωματιδιακά (ενέργεια, ορμή) είναι οι εξής:
E=hf,    p=h/λ.

Δεχόμενοι ότι η κίνηση του ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα έχει κυματικό χαρακτήρα (δηλ. τα e όταν κινούνται γύρω από τον πυρήνα συμπεριφέρονται ως κύματα) και άρα επιτρέπονται μόνο εκείνες οι κυκλικές τροχιές που φτιάχνουν στασιμα κύματα (2πr=nλ, με λ=h/p) μπορούμε να ερμηνεύσουμε αβίαστα τη συνθήκη κβάντωσης της στροφορμής του Bohr. Επιπλέον, αφού η συχνότητα είναι κβαντισμένη, είναι φυσιολογική η κβάντωση και της ενέργειας.
----
Υπολογιστε το μήκος κύματος για ένα ηλεκτρόνιο ενέργειας 2 eV. Εξηγήστε γιατι ένα ηλεκτρονικό μικροσκόπιο που λειτουργεί με e ενέργειας 2 eV θα έχει μεγαλύτερη διακριτική ικανότητα από ένα οπτικό μικρoσκόπιο.
----
Η κυματική συμπεριφορά των e αποδείχθηκε πειραματικά για πρώτη φορά το 1927, από τους Davisson-Germer. Οι Davisson-Germer πραγματοποίησαν πειράματα περίθλασης ηλεκτρονίων από κρυστάλλους Ni, αποδεικνύοντας έτσι την κυματική φύση του e και επιβεβαιώνοντας το μήκος κύματος De Broglie.


2.e. Ο κυματοωματιδιακός δυισμός της ύλης: Αρχή αβεβαιότητας


Μια θεμελιώδης αρχή που απορρέει από τον κυματικό χαρακτήρα των σωματιδίων είναι η "Αρχή της αβεβαιότητας (ή απροσδιοριστίας)" του Heisenberg. Σύμφωνα με την αρχή αυτή είναι αδύνατον να μετρήσουμε ταυτόχρονα τη θέση και την ορμή ενός σωματιδίου με απόλυτη ακρίβεια. Συγκεκριμένα, "Το γινόμενο των αβεβαιοτήτων θέσης και ορμής δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τη σταθερά του Planck", δηλ.
Δx Δp > h/2π.

Με άλλα λόγια, όσο πιο αυστηρά καθορισμένη είναι η θέση ενός σωματιδίου, τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα στην ορμή του.
Η αρχή αυτή απορρέει άμεσα από τον κυματικό χαρακτήρα των σωματιδίων. Για να κατασκευαστεί ένα κύμα περιορισμένο χωρικά (όπως θα περίμενε κανείς να είναι ένα σωματίδιο) θα πρέπει να γίνει υπέρθεση πολλών επίπεδων κυμάτων με παραπλήσια μήκη κύματος, άρα και διαφορετικές παραπλήσιες ορμές (p=h/λ=hk/2π), και όσο πιο εντοπισμένο χωρικά είναι ένα κύμα τόσο πιο μεγάλο είναι το εύρος μηκών κύματος (άρα και των ορμών) που περιέχει (δηλ. που θα πρέπει να χρησιμοποιήσει κανείς για να το κατασκευάσει). Αν θεωρήσουμε ότι ένα σωματίδιο περιγράφεται από ένα τέτοιο κύμα, η ταχύτητά του, v, θα είναι ίση με την ταχύτητα ομάδας vg του κύματος (vg=Δω/Δk=ΔΕ/Δp=p/m=v).
-----
Πώς η αρχή της αβεβαιότητας εξηγεί τη σταθερότητα του ατόμου; Γιατί δεν πέφτουν τα ηλεκτρόνια στον πυρήνα; Πώς ο εντοπισμός των σωματιδίων κάνει πιο έκδηλη την κβαντική τους συμπεριφορά;
----
Εκτός από τη σχέση αβεβαιότητας θέσης-ορμής υπάρχει και μια άλλη σχέση αβεβαιότητας: αυτή ενέργειας-χρόνου,
ΔΕ τ > h/2π.

Η σχέση αυτή μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: όσο πιο αργά μεταβάλλεται ένα φυσικό σύστημα τόσο πιο καλά καθορισμένη είναι η ενέργειά του ( τ είναι ο χρόνος που χρειάζεται να περιμένουμε για να δούμε μια μεταβολή στην ενεργειακή κατάσταση του φυσικού συστήματος και ΔΕ η αβεβαιότητα στην ενέργεια του συστήματος).
Θα πρέπει να αναφέρουμε τέλος ότι η αβεβαιότητα ενός μεγέθους x δίδεται από τον τύπο (Δx)2=< x 2 >- < x >2, όπου < x > είναι η μέση τιμή του x.


2.f. Κυματοσυνάρτηση και κυματική εξίσωση


Αφού τα σωματίδια συμπεριφέρονται σαν κύματα, θα πρέπει να περιγράφονται και αυτά, όπως και κάθε κύμα, από μια κυματοσυνάρτηση, π.χ. Ψ(x,t)=exp[i(kx-ωt)]. Κάθε κυματοσυνάρτηση όμως περιγράφει μια μεταβολή (ταλάντωση) κάποιας φυσικής ποσότητας, π.χ. των τμημάτων ταλαντούμενης χορδής, των μορίων νερού κλπ. Στην περίπτωση ενός σωματιδίου (εντοπισμένης ποσότητας) δεν θα μπορούσε να συμβαίνει κάτι τέτοιο. Εδώ η κυματοσυνάρτηση εκφράζει πιθανότητα. Δίνει την πιθανότητα (πλάτος πιθανότητας) να βρούμε το σωμάτιο στη μια ή την άλλη περιοχή του χώρου. Δηλαδή,
αυτό που είναι κύμα (απλωμένο) δεν είναι το ίδιο το σωμάτιο αλλά η πιθανότητα να το βρούμε στη μια ή την άλλη περιοχή του χώρου.
Αν ένα σωματίδιο περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t), τότε το
|Ψ(x,t)| λέγεται πλάτος πιθανότητας και η ποσότητα
|Ψ(x,t)|2=P(x) πυκνότητα πιθανότητας (πιθανότητα ανά μονάδα μήκους).
Άρα |Ψ(x,t)|2dx είναι η πιθανότητα να βρούμε το σωμάτιο μεταξύ x και x+dx (σε μία διάσταση), και το ολοκλήρωμά του σε όλο το μήκος θα είναι μονάδα.
Γνωρίζοντας την κυματοσυνάρτηση μπορούμε να υπολογίσουμε σχεδόν όλα τα χαρακτηριστικά της κίνησης του σωματιδίου. Π.χ. η μέση τιμή της θέσης του, x, ή οποιασδήποτε συνάρτησησης της θέσης, f(x), θα δίνεται από
  ή  
(Οι παραπάνω τύποι δεν είναι παρά εφαρμογή του ορισμού της μέσης τιμής.)
Κυματική εξίσωση (εξίσωση Schrodinger):
Η Ψ(x,t), όπως και σε κάθε είδους κύμα, δίδεται και στην περίπτωη των υλικών κυμάτων (σωματιδίων) από τη λύση μιας κυματικής εξίσωσης, χαρακτηριστικής του προβλήματος. Η εξίσωση αυτή στην περίπτωσή μας λέγεται εξίσωση Schrodinger και είναι η βασική εξίσωση της Κβαντομηχανικής.
Για ένα σωμάτιο που κινείται σε δυναμικό V(x) η εξίσωση Schrodinger έχει τη μορφή:
  (1)   (χρονοεξαρτημένη εξ. Schrodinger)

και οι λύσεις της μπορούν να γραφούν ως
  (2)

Το χωρικό κομμάτι της κυματοσυνάρτησης, ψ(x), θα ικανοποιεί τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger (που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε στην χρονοεξαρτημένη εξίσωση την πιο πάνω λύση):
  (3)

---
Δείξτε ότι για κυματοσυναρτήσεις της μορφής (2) ισχύει |Ψ(x,t)|2=|ψ(x)|2 (η πιθανότητα είναι ανεξάρτητη του χρόνου).


Η Κβαντική θεωρία του φωτός

Kλασική θεωρία - Ηλεκτρομαγνητικά (ΗΜ) κύματα


Κλασική θεωρία:
  • Νευτώνια μηχανική: F=m a (αναθεωρήθηκε από τη θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας του Αινστάιν)
  • Κλασικός ηλεκτρομαγνητισμός: Εξισώσεις του Maxwell. (Τα ΗΜ κύματα διαδίδονται στο κενό. Παραγονται από κάθε εναλασσόμενη ροή ρεύματος (ή ταλάντωση φορτίων) και η συχνότητά τους ίση με εκείνη των ταλαντώσεων του ρεύματος. Η ενέργειά τους είναι ανεξάρτητη από τη συχνότητα και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή.)
  • Κλασική στατιστική: Θεώρημα ισοκατανομής (σε κάθε βαθμό έλευθερίας που εμφανίζεται με το τετράγωνό του στην έκφραση της ενέργειας αντιστοιχεί μέση ενέργεια kBΤ/2 , kB=8.6x10-5eV K-1 η σταθερά του Boltzmann.)

1.b Ακτινοβολία μέλανος σώματος


Κάθε σώμα που θερμαίνεται εκπέμπει ακτινοβολία, η οποία σε χαμηλές θερμοκρασίες είναι στο υπέρυθρο (άρα αόρατη) και όσο αυξάνεται η θερμοκρασία μετατοπίζεται προς το ορατό.
Η εκπεμπόμενη θερμική ακτινοβολία εξαρτάται από τη συχνότητα, τη θερμοκρασία και την απορροφούμενη ισχύ (όσο περισσότερο απορροφά ένα σώμα τόσο περισσότερο εκπέμπει).
Το μέλαν σώμα ορίζεται ως ένα αντικείμενο που απορροφά όλη την ακτινοβολία που πέφτει πάνω του, σε όλες τις συχνότητες (για αυτό και φαίνεται μαύρο), Για μέλαν σώμα η εκπεμπόμενη ισχύς είναι συνάρτηση μόνο της συχνότητας (f) και της θερμοκρασίας (T) και είναι μέγιστη. Άρα το μέλαν σώμα είναι ενας ιδανικός εκπομπός, το πρότυπο για να μελετήσει κανείς τη θερμική εκπομπή των σωμάτων (οι τύποι είναι απλούστεροι).
Η καλύτερη αναπαράσταση μέλανος σώματος είναι μια θερμαινόμενη κοιλότητα (π.χ. ένας φούρνος). Αν ανοίξει κανείς μια οπή σε φούρνο, η εκπεμπόμενη ακτινοβολία έχει όλα τα χαρακτηριστικά της ακτινοβολίας μέλανος σώματος.
Σύμφωνα με την κλασική φυσική η ακτινοβολία της κοιλότητας προέρχεται από τις ταλαντώσεις των φορτισμένων σωματιδίων στα τοιχώματα της κοιλότητας και η συχνότητά της είναι ίση με τη συχνότητα των ταλαντώσεων αυτών. Η ενέργεια της ακτινοβολίας μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή.
Μεγέθη για την περιγραφή της ακτινοβολίας:
  • Ι(f,T) είναι η εκπεμπόμενη ισχύς (ενέργεια/χρόνο) ανά μονάδα επιφάνειας και συχνότητας.
  • u(f,T) είναι η φασματική πυκνότητα ενέργειας, δηλ. η ενέργεια ανά μονάδα συχνότητας και όγκου στην κοιλότητα που αναπαριστά το μέλαν σώμα. I(f,T)=u(f,T) c/4, όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό.
Τα μεγέθη αυτά μπορούν να γραφούν και ως συνάρτηση του μήκους κύματος, λ, χρησιμοποιώντας τις Ι(λ,T)dλ=Ι(f,T)df, u(λ,T)dλ=u(f,T)df, λ f=c.
Η ακτινοβολία μέλανος σώματος, I(λ,T), ως συνάρτηση του μήκους κύματος και της θερμοκρασίας έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 1.
Σχ. 1. Ένταση της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από μέλαν σώμα ως συνάρτηση της συχνότητας και της θερμοκρασίας.
Βασικά χαρ/κά της ακτινοβολίας μέλανος σώματος - Εμπειρικοί νόμοι
  1. Το φάσμα (εκπεμπόμενη ακτινοβολία ως συνάρτηση της συχνότητας) του μέλανος σώματος είναι συνεχές με ένα ευρύ μέγιστο. Εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία.
  2. Η συνολική εκπεμπόμενη ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας, I(T), (I(f,T) ολοκληρωμένο ως προς συχνότητα) είναι ανάλογη προς την τέταρτη δύναμη της απόλυτης θερμοκρασίας: Itotal= σ T4. Νόμος Stefan-Boltzmann. (σ= 5.67x10-8 Wm-2K-4 είναι η σταθερά των Stefan-Boltzmann.)
  3. Καθώς η θερμοκρασία αυξάνει το μέγιστο της καμπύλης εκπομπής μετακινείται προς υψηλότερες συχνότητες (μικρότερα μήκη κύματος). Η μετακίνηση αυτή περιγράφεται από τον Νόμο μετατόπισης του Wien: λmax T=0.2898 cm K (λmax είναι το μήκος κύματος το οποίο η εκπομπή ακτινοβολίας γίνεται μέγιστη).
  4. Για χαμηλές συχνότητες (μεγάλα μήκη κύματος) η εκπομπή μέλανος σώματος περιγράφεται από τον νόμο των Rayleigh-Jeans: Ι(λ,T) = Eav 2πc/λ4, όπου Eav=kBT (σύμφωνα με τον Boltzmann) είναι η μέση ενέργεια (ανά ταλαντωτή) των ταλαντωτών που εκπέμπουν την ακτινοβολία. kB είναι η σταθερά του Boltzmann.
  5. Για υψηλές συχνότητες (μικρά μήκη κύματος) η εκπομπή μέλανος σώματος περιγράφεται από τον εκθετικό νόμο του Wien (πειραματικός νόμος): I(λ,T) = (A/λ5)e-Β/λT, A, Β σταθερές.

Πρόβλημα: Η ακτινοβολία μέλανος σώματος δεν μπορούσε να περιγραφεί με βάση την υπάρχουσα κλασική θεωρία, κατά την οποία οι υπεύθυνοι για την ακτινοβολία ταλαντωτές (άρα και η ακτινοβολία της κοιλότητας) μπορούν να έχουν οποιαδήποτε ενέργεια, ανεξάρτητα από τη συχνότητά τους.


1.c. Νόμος του Planck


Το παραπάνω πρόβλημα λύθηκε από τον Planck, ο οποίος έδωσε τον τύπο που περιγράφει σωστά την ακτινοβολία μέλανος σώματος για κάθε περιοχή συχνοτήτων (Για την εργασία του αυτή πήρε το βραβείο Nobel, το 1918.) Οι υποθέσεις-κλειδιά του Planck ήταν:
  • Οι ενέργειες των ταλαντωτών που βρίσκονται στα τοιχώματα της κοιλότητας μπορούν να πάρουν μόνο διακριτές τιμές, nhf, όπου n είναι τυχών ακέραιος και h σταθερά, είναι δηλ. κβαντισμένες.
  • Οι ενέργεια της ακτινοβολίας που μπορούν να απορροφήσουν ή να εκπέμψουν οι ταλαντωτές (άρα της ακτινοβολίας που υπάρχει στην κοιλότητα) είναι κβαντισμένη. Παίρνει τις τιμές En=nhf=nhc/λ,   n=0,1,2...
    που ονομάζονται κβάντα ενέργειας. Οι ταλαντωτές εκπέμπουν ή απορροφούν ενέργεια μόνο όταν "πηδούν" από μια κατάσταση ταλάντωσης σε μια άλλη.
Χρησιμοποιώντας τη σχέση En=nhf=nhc/λ, τον υπολογισμό της πυκνότητας των ταλαντωτών στην κοιλότητα που είχαν χρησιμοποιήσει και οι Rayleigh-Jeans και το αξίωμα ότι η πιθανότητα να βρίσκεται ένα σύστημα σε δοσμένη κατάσταση εξαρτάται μόνο από την ενέργεια της κατάστασης και τη θερμοκρασία και έχει τη μορφή P(Ε) =A e-Ε/kBT, μπορεί να εξαχθεί εύκολα ο τύπος του Planck:

u(f,T) = (8 πf2/c3) [hf/(ehf/kT- 1)]
ή μέσω των Ι(λ,T):
Ι(λ,T) = (2πc /λ4) [(hc/λ)/(ehc/λkT- 1)].

h είναι η σταθερά του Planck, h=6.67x10-34J.s = 4.11x10-15eV.s. k=kB είναι η σταθερά του Boltzmann, kB=8.6x10-5eV K-1. Σε θερμοκρασία δωματίου, T=300Κ, kBT=(1/40) eV.
H σταθερά κανονικοποίησης, A, στην πιθανότητα P(Ε) προσδιορίζεται από την απαίτηση η ολική πιθανότητα (ολοκλήρωμα σε όλες τις δυνατές ενέργειες) να είναι μονάδα, δηλ. A = 1 / (Integral e-Ε/kBT )
Πιθανότητα και μέση τιμή: Πώς υπολογίζεται η μέση τιμή ενός μεγέθους x (π.χ. Ε) αν γνωρίζουμε την πιθανότητα της κάθε δυνατής τιμής του, P(xn); xavn xn P(xn). Αν το x παίρνει συνεχείς τιμές, P(x) dx είναι η πιθανότητα να είναι μεταξύ x και x+dx και η μέση τιμή είναι xav=Integral x P(x)dx.

1.d. Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο και φωτόνια


Με τον όρο "φωτοηλεκτρικό φαινόμενο" χαρακτηρίζεται η εκπομπή ηλεκτρονίων (φωτοηλεκτρονίων) από ένα μέταλλο όταν πέσει πάνω σε αυτό ορατό ή υπεριώδες φως.
Το "φωτοηλεκτρικό φαινόμενο" ανακαλύφθηκε από τον Hertz (το 1887) και ερμηνεύθηκε α πό τον Αινστάιν (το 1905), ο οποίος πήρε για την ερμηνεία του το Nobel Φυσικής (το 1921).
Πειραματικά δεδομένα για το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο (τα οποία δεν μπορούσαν να ερμηνευθούν από την τότε αποδεκτή κλασική θεωρία) είναι τα εξής:
  • Ο αριθμός των εκπεμπόμενων φωτοηλεκτρονίων (ένταση του φωτοηλεκτρικού ρεύματος) είναι ανάλογος προς την ένταση του προσπίπτοντος φωτός (αποδεκτό για την κλασική θεωρία) ενώ η μέγιστη κινητική τους ενέργεια είναι ανεξάρτητη της έντασης αυτής (θα έπρεπε να ήταν ανάλογη).
  • Η μέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων είναι ανάλογη προς τη συχνότητα του προσπίπτοντος φωτός (και όχι προς την έντασή του, όπως αναμενόταν).
  • Φωτοηλεκτρικό ρεύμα (φωτοηλεκτρόνια) εμφανίζονται μόνο όταν η συχνότητα του προσπίπτοντος φωτός υπερβεί μια ορισμένη τιμη (συχνότητα κατωφλίου) (ενώ δεν θα έπρεπε να υπάρχει οριακή συχνότητα).
  • Τα φωτοηλεκτρόνια εκπέμπονται από την μεταλλική επιφάνεια αμέσως μόλις αυτή φωτιστεί (άρα η μεταβίβασης της ενέργειας είναι στιγμιαία και όχι βαθμιαία, όπως ορίζει η κλασική θεωρία).
Οι υποθέσεις του Αινστάιν για την ερμηνεία του φωτοηλεκτρικού φαινομένου:
  • Το φως (συχνότητας f) αποτελείται από μια δέσμη "φωτεινών πακέτων" (φωτονίων) που το καθένα φέρει ενέργεια E=hf.
  • Κάθε φωτόνιο μπορεί να δώσει την ενέργειά του σε (και άρα να εξάγει) ένα μόνο ηλεκτρόνιο, και η μεταφορά αυτή της ενέργειας γίνεται ακαριαία.
Άρα, αν η ελάχιστη ενέργεια με την οποία το ηλεκτρόνιο είναι δέσμιο στο μέταλλο (που ισούται με το έργο το οποίο χρειάζεται για την υπερνίκηση των δυνάμεων που το κρατούν δέσμιο, και λέγεται έργο εξαγωγής) είναι Φ, τότε η μέγιστη κινητική ενέργεια των εκπεμπόμενων φωτοηλεκτρονίων (Kmax) θα δίδεται από
hf= Kmax + Φ.
Η παραπάνω εξίσωση είναι η εξίσωση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. Πώς ερμηνεύει η εξίσωση αυτή και οι δύο πιο πάνω υποθέσεις τα πειραματικά δεδομένα για το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο;


1.e. Φαινόμενο Compton


Το φαινόμενο Compton είναι η σκέδαση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (φωτονίων) από φορτισμένα σωμάτια. Κατά τη σκέδαση αυτή η συχνότητα της σκεδαζόμενης δέσμης (α) είναι μικρότερη από εκείνη της προσπίπτουσας και (β) η μείωση αυτή εξαρτάται από τη γωνία σκέδασης. (Σύμφωνα με την κλασική θεωρία, σκεδαζόμενη και προσπίπτουσα δέσμη θα έπρεπε να έχουν την ίδια συχνότητα.)
Το φαινόμενο Compton ανακαλύφθηκε από τους Debye και Compton, ανεξάρτητα, στις αρχές του 20ου αι. (1923) μελετώντας σκέδαση ακτίνων-X από ελεύθερα ηλεκτρόνια. Η σχηματική αναπαράσταση του φαινόμενου δείχνεται στο παρακάτω σχήμα:
Compton ερμήνευσε το φαινόμενο ως ελαστική κρούση ηλεκτρονίου-φωτονίου (θεωρώντας τα φωτόνια "σημειακά" σωμάτια), και εφαρμόζοντας αρχή διατήρησης ενέργειας και ορμής (σχετικιστικά) κατέληξε στην εξής εξίσωση του φαινομένου Compton:
λ'- λ0= (h / mec) (1 - cos θ).

λc= (h / mec)=0.0243 Α είναι το μήκος κύματος Compton του ηλεκτρονίου.
Η ανακάλυψη και η ερμηνεία του φαινομένου Compton έδωσαν στον Compton, το 1927, το βραβείο Nobel.


1.f. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός του φωτός


Οι βασικές αρχές του κυματοσωματιδιακόύ δυισμού του φωτός συνοψίζονται στα παρακάτω.
Το φως έχει και κυματικό και σωματιδιακό χαρακτήρα (αποτελείται από αδιαίρετα "πακέτα" που φέρουν ενέργεια και ορμή, τα φωτόνια ή κβάντα φωτός).
Οι βασικές σχέσεις που συνδέουν τα κυματικά χαρακτηριστικά του (συχνότητα (f), μήκος κύματος (λ)) με τα σωματιδιακά του χαρακτηριστικά (ενέργεια (E), ορμή (p)) είναι οι εξής:
Ε=hf,   p=h/λ.

(Για το φως Ε=pc και άρα λf=c. Η σχέση Ε=pc προκύπτει από τη γενική σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής, Ε2=p2c2 +m2c4, για σωμάτια χωρίς μάζα, m=0.)


1.g. Χρήσιμοι μαθηματικοί τύποι


Σχετικιστική ορμή: p=γ mv με
γ= 1/sqrt(1-v2/c2). Για v<< c, p=mv (v ταχύτητα)
Σχετικιστική κινητική ενέργεια: Κ=sqrt(p2c2 +m2c4)-mc2=γ mc2. Για v<< c , Κ=p2/2m
Μαθηματικοί τύποι:
(1+x)n= 1+nx+..., για x<<1
exp(x)= 1+x+x2/2!..., για x<<1
ln(1+x)= x-x2/2!+...
sin(θ)= θ-θ3/3!+...
cos(θ)= 1-θ2/2!+...
tan(θ) =θ+θ3/3+...



Έκθεση στη ραδιενέργεια και πυρηνικά ατυχήματα: Επιδράσεις στην υγεία, σημεία και συμπτώματα


Η έκθεση του ανθρώπου στη ραδιενέργεια, προκαλεί προβλήματα υγείας, ανάλογα με τη δόση της ραδιενεργούς ακτινοβολίας που δέχεται και τη διάρκεια έκθεσης του, σε αυτή.
Όσο πιο μεγάλη δόση ακτινοβολίας με ραδιενέργεια δέχεται ο άνθρωπος, τόσο λιγοστεύουν οι πιθανότητες επιβίωσης του.

Οι συνέπειες της ραδιενέργειας για την υγεία, εξαρτώνται από τη συνολική δόση αλλά και από τη χρονική διάρκεια έκθεσης του ανθρώπου σε αυτή. Η έκθεση σε υψηλές δόσεις για σύντομο χρονικό διάστημα, δημιουργούν τους μέγιστους κινδύνους για την επιβίωση.

Η ραδιενεργός ακτινοβολία μεταφέρει υψηλές ποσότητες ενέργειας. Όταν ο άνθρωπος δεχτεί την ακτινοβολία αυτή, η ισχυρή ενέργεια που προσβάλλει το σώμα του, είναι σε θέση να του προκαλεί άμεσες βλάβες, ανεπάρκειες οργάνων, μακροχρόνιες διαταραχές, καρκίνο και θάνατο.
Η έκθεση σε μέτριες δόσεις ραδιενέργειας

Η έκθεση σε μέτριες δόσεις προκαλεί την ασθένεια της ραδιενέργειας. Στα πρώτα συμπτώματα περιλαμβάνονται:

  1. Ναυτία και εμετοί, που αρχίζουν εντός μερικών ωρών από την έκθεση στη ραδιενέργεια
  2. Στη συνέχεια, ο ασθενής παρουσιάζει διάρροια, πονοκέφαλους και πυρετό

Μετά από τις πρώτες εκδηλώσεις της νόσου, λόγω έκθεσης σε μέτριες δόσεις ραδιενέργειας, μπορεί να υπάρξει ένα σύντομο διάστημα υποχώρησης της νόσου, χωρίς εμφανείς διαταραχές. Ωστόσο, την πρόσκαιρη αυτή ηρεμία, δυνατόν να διαδεχθεί, μια σοβαρότερη κατάσταση.

Η ραδιενέργεια μπορεί να προκαλέσει βλάβες σε διάφορα συστήματα. Οι βλάβες αυτές μπορούν να εκδηλωθούν άμεσα ή μετά την παρέλευση λίγου χρόνου.

Το αποτέλεσμα είναι η ανεπάρκεια ζωτικών για την επιβίωση οργάνων. Η ανεπάρκεια της λειτουργίας τους απειλεί τη ζωή του ασθενούς.

Για παράδειγμα, ο μυελός των οστών είναι ένα όργανο διάσπαρτο στον ανθρώπινο σκελετό και παράγει μεταξύ άλλων, όλα τα έμμορφα στοιχεία του αίματος, ερυθρά αιμοσφαίρια, λευκοκύτταρα και αιμοπετάλια. Ο μυελός των οστών είναι πολύ ευαίσθητος στην ραδιενέργεια.

Η ανεπάρκεια του μυελού των οστών, που προκαλείται από τη ραδιενέργεια, οδηγεί σε αναιμία, μολύνσεις και αιμορραγίες (μερική ή ολική απλασία μυελού). Η κατάσταση αυτή, εάν δεν αντιμετωπιστεί έγκαιρα ή εάν οι βλάβες στο μυελό των οστών, είναι πολύ σοβαρές χωρίς δυνατότητες ανάκαμψης του, οι πιθανότητες επιβίωσης του ασθενούς, μηδενίζονται.

Εκτός από το μυελό των οστών, άλλα όργανα, ιδιαίτερα ευαίσθητα στην ραδιενεργό ακτινοβολία, είναι το δέρμα, ο θυρεοειδής αδένας και ο πεπτικός σωλήνας. 

Η έκθεση σε υψηλές δόσεις ραδιενεργούς ακτινοβολίας

Κατά την έκθεση σε υψηλές δόσεις ραδιενέργειας που συμβαίνει σε σύντομο χρονικό διάστημα, η κλινική εικόνα είναι σοβαρότερη.

Τα πρώτα σημεία και συμπτώματα συνυπάρχουν, με την κλινική εικόνα που δημιουργούν οι ανεπάρκειες των οργάνων (μυελός των οστών, δέρμα, έντερο), που είναι πιο ευάλωτα στην υψηλή ενέργεια που μεταφέρει η ραδιενεργός ακτινοβολία.

Το οξύ σύνδρομο λόγω έκθεσης σε ραδιενεργό ακτινοβολία περιλαμβάνει:

  1. Ναυτία, εμετούς, διάρροια. Τα εν λόγω συμπτώματα, αρχίζουν σε μερικά λεπτά ή μέρες μετά την έκθεση. Διαρκούν για λίγο ή για πολλές μέρες. Μπορεί να υποχωρούν, αλλά μετά επανέρχονται
     
  2. Ο ασθενής συνήθως φαίνεται και αισθάνεται καλά, για μόνο λίγο χρονικό διάστημα. Μετά, οι διαταραχές επανέρχονται με ανορεξία, κούραση, πυρετό, ναυτίες, εμετούς και διάρροια. Ακόμη είναι δυνατόν να παρουσιάσει σπασμούς και να εισέλθει σε κώμα
     
  3. Η σοβαρή αυτή κατάσταση, μπορεί να διαρκέσει από μερικές ώρες έως μερικούς μήνες
     
  4. Προβλήματα στο δέρμα. Οι βλάβες στο δέρμα του ασθενούς, μπορεί να εκδηλωθούν γρήγορα, σε μερικές ώρες μετα την έκθεση σε ραδιενέργεια. Περιλαμβάνουν οίδημα (πρήξιμο ή φούσκωμα), ερυθρότητα του δέρματος και φαγούρα. Η κλινική εικόνα μοιάζει με αυτή σοβαρού εγκαύματος στον ήλιο. Επίσης είναι  δυνατόν, ο ασθενής να έχει απώλεια μαλλιών. Όπως και με τις άλλες βλάβες που προκαλεί η ραδιενέργεια, οι ανωμαλίες στο δέρμα μπορεί να υποχωρήσουν παροδικά. Μετά παρέλευση ημερών ή εβδομάδων, επανέρχονται με κοκκίνισμα του δέρματος, φαγούρα και οίδημα. Η πλήρης ίαση του δέρματος μπορεί να πάρει, από μερικές εβδομάδες έως μερικά χρόνια, ανάλογα με τη δόση ραδιενέργειας που δέχθηκε ο ασθενής.

Αιτίες θανάτου

Οι ασθενείς που δεν τα καταφέρνουν να αντεπεξέλθουν, μετά από το οξύ σύνδρομο έκθεσης στη ραδιενέργεια, αποβιώνουν σε μερικούς μήνες μετά από την έκθεση τους.

Οι αιτίες θανάτου είναι η καταστροφή του μυελού των οστών από τη ραδιενέργεια. Οι συνέπειες της απλασίας του μυελού, οι μολύνσεις και οι αιμορραγίες, είναι δύσκολο να αντιμετωπιστούν.

Για αυτούς που επιβιώνουν από το σύνδρομο έκθεσης στη ραδιενέργεια, η περίοδος ανάκαμψης κυμαίνεται από μερικές εβδομάδες μέχρι 2 χρόνια. 

Οι μακροχρόνιοι κίνδυνοι

Η προσβολή από καρκίνο, είναι ο μεγαλύτερος κίνδυνος που διατρέχουν τα άτομα που εκτέθηκαν σε ραδιενεργό ακτινοβολία.

Η ραδιενεργός ακτινοβολία μεταφέρει μεγάλη ποσότητα ενέργειας. Όταν ο άνθρωπος εκτεθεί σε αυτή, ανάλογα με τις δόσεις, προκαλεί τα άμεσα προβλήματα που εξετάσαμε πιο πάνω, αλλά παράλληλα επηρεάζει το DNA.

Η ραδιενέργεια αλλοιώνει τις διαδικασίες σχετικές με το  DNA και τον πολλαπλασιασμό των κυττάρων. Το αποτέλεσμα είναι ότι οδηγεί στην καρκινοποίηση των κυττάρων.

Η απλασία του μυελού των οστών και η λευχαιμία εντάσσονται στις συχνότερες αιτίες θανάτου των ανθρώπων που εκτέθηκαν σε μεγάλες δόσεις ραδιενέργειας.  

Τα παιδιά κινδυνεύουν περισσότερο από τη ραδιενέργεια

Τα παιδιά λόγω της ανάπτυξης τους, είναι πιο ευάλωτα στις βλαβερές συνέπειες της ραδιενέργειας.

Επιπλέον η απορρόφηση από το θυρεοειδή αδένα των παιδιών του ραδιενεργού ιωδίου, που απελευθερώνεται σε πυρηνικά ατυχήματα, αυξάνει τη συγκέντρωση της ραδιενέργειας στον θυρεοειδή αδένα. Το αποτέλεσμα είναι, η μεγάλη αύξηση καρκίνων του θυρεοειδούς σε παιδιά.

Μετά από το πυρηνικό ατύχημα στο Τσερνομπίλ, καταγράφηκε μεγάλη αύξηση καρκίνου του θυρεοειδούς, σε παιδιά που ζούσαν σε περιοχές κοντά στην έκρηξη. 

Για την προστασία των ανθρώπων, που βρίσκονται κοντά σε περιοχές πυρηνικών ατυχημάτων, χορηγούνται χάπια ιωδίου. Το σταθερό αυτό ιώδιο, προκαλεί κορεσμό του θυρεοειδούς αδένα σε ιώδιο.

Έτσι το ραδιενεργές ιώδιο δεν συγκρατείται στο θυρεοειδή αδένα και ο κίνδυνος καρκινοποίησης του οργάνου,  απομακρύνεται.



χρωματογραφία